在本系列中，我们将学习如何仅使用普通和现代C++编写必须知道的深度学习算法，例如卷积、反向传播、激活函数、优化器、深度神经网络等。

        在这个故事中，我们将通过引入梯度下降算法来介绍数据中 2D 卷积核的拟合。我们将使用卷积和上一个故事中引入的成本函数概念，将所有内容编码为现代C++和特征。

这个故事是：C++的梯度下降，查看其他故事：

0 — 现代C++深度学习编程基础

1 — 在C++中编码 2D 卷积

2 — 使用 Lambda 的成本函数

4 — 激活函数

...更多内容即将推出。

二、函数逼近作为优化问题

        如果你读过我们之前的演讲，你已经知道，在机器学习中，我们大部分时间都在关注使用数据来寻找函数近似值。

        通常，我们通过找到最小化成本值的系数来获得函数近似。因此，我们的近似问题被转换为优化问题，我们试图最小化成本函数的值。

三、成本函数和梯度下降

        成本函数计算使用函数 H（X） 近似目标函数 F（X） 的开销。例如，如果 H（X） 是输入 X 和核 k 之间的卷积，则 MSE 成本函数由下式给出：

        我们通常做 Yn = F（Xn），结果是：

MSE是均方误差，是上一个故事中介绍的成本函数

因此，我们的目标是找到最小化MSE（k）的内核值km。找到 km 的最基本（但最强大）的算法是梯度下降。

梯度下降使用成本函数梯度来查找最小成本。为了理解什么是梯度，让我们谈谈成本表面。

四、绘制成本曲面

        为了更容易理解，让我们暂时假设内核仅由两个系数组成。如果我们为每个可能的组合绘制 MSE（k） 的值，我们最终会得到这样的表面：k[k00, k01][k00, k01]

在每个点上，曲面与0k₀₀轴有一个倾角，与0k₀₁轴有另一个倾角：(k00, k01, MSE(k00, k01))

偏导数

这两个斜率分别是 MSE 曲线相对于轴 O k₀₀ 和 Ok₀₁ 的偏导数。在微积分中，我们非常使用符号∂来表示偏导数：

这两个偏导数共同构成了MSE相对于轴O k₀₀和Ok₀₁的梯度。此梯度用于驱动梯度下降算法的执行，如下所示：

梯度下降的实际应用

在成本表面上执行此“导航”的算法称为梯度下降。

五、梯度下降

梯度下降伪代码描述如下：

gradient_descent:
    initialize k, learning_rate, epoch = 1
    repeat
        k = k - learning_rate x ∇Cost(k)
    until epoch <= max_epoch
    return k

        learning_rate x ∇Cost（k） 的值通常称为权重更新。我们可以通过以下方式恢复梯度下降的行为：

for each iteration:
    calculate the weight update
    subtract it from the parameter k

顾名思义，Cost（k） 是配置 k 的成本函数。梯度下降的目的是找到成本（k）最小的k值。

learning_rate通常是像 0.1、0.01、0.001 左右这样的标量。此值控制优化过程中的步长。

该算法循环 max_epoch 次。有时，我们会更早地停止算法，即，即使纪元< max_epoch，在 Cost（k） 太小的情况下。

我们通常用超参数的名称来指代learning_rate和max_epoch等参数。

要实现梯度下降，我们需要知道的最后一件事是如何计算 C（k） 的梯度。幸运的是，在成本函数为 MSE 的情况下，如前所述，查找 ∇Cost（k） 非常简单。

六、查找 MSE 梯度

到目前为止，我们已经看到梯度的分量是每个轴 0kij 的成本面的斜率。我们还看到，MSE（k） 相对于每个 i 个、核 k 的系数 j-的梯度由下式给出：

让我们记住，MSE（k） 由下式给出：

其中n是每对的索引（Yn，Tn），r&c是输出矩阵系数的索引：

输出布局

使用链式规则和线性组合规则，我们可以通过以下方式找到MSE梯度：

由于 N、R、C、Yn 和 T n 的值是已知的，我们需要计算的只是 Tn 中每个系数相对于系数 kij 的偏导数。在带有填充 P 的卷积的情况下，此导数由下式给出：

如果我们展开 r 和 c 的总和，我们可以发现梯度由下式给出：

其中 δn 是矩阵：

以下代码实现此操作：

auto gradient = [](const std::vector<Matrix> &xs, std::vector<Matrix> &ys, std::vector<Matrix> &ts, const int padding)
{
    const int N = xs.size();
    const int R = xs[0].rows();
    const int C = xs[0].cols();

    const int result_rows = xs[0].rows() - ys[0].rows() + 2 * padding + 1;
    const int result_cols = xs[0].cols() - ys[0].cols() + 2 * padding + 1;
    Matrix result = Matrix::Zero(result_rows, result_cols);
    
    for (int n = 0; n < N; ++n) {
        const auto &X = xs[n];
        const auto &Y = ys[n];
        const auto &T = ts[n];

        Matrix delta = T - Y;
        Matrix update = Convolution2D(X, delta, padding);
        result = result + update;
    }

    result *= 2.0/(R * C);

    return result;
};

现在我们知道了如何获得梯度，让我们来实现梯度下降算法。

七、编码梯度下降

最后，我们的梯度下降的代码在这里：

auto gradient_descent = [](Matrix &kernel, Dataset &dataset, const double learning_rate, const int MAX_EPOCHS)
{
    std::vector<double> losses; losses.reserve(MAX_EPOCHS);

    const int padding = kernel.rows() / 2;
    const int N = dataset.size();

    std::vector<Matrix> xs; xs.reserve(N);
    std::vector<Matrix> ys; ys.reserve(N);
    std::vector<Matrix> ts; ts.reserve(N);

    int epoch = 0;
    while (epoch < MAX_EPOCHS)
    {
        xs.clear(); ys.clear(); ts.clear();

        for (auto &instance : dataset) {
            const auto & X = instance.first;
            const auto & Y = instance.second;
            const auto T = Convolution2D(X, kernel, padding);
            xs.push_back(X);
            ys.push_back(Y);
            ts.push_back(T);
        }

        losses.push_back(MSE(ys, ts));

        auto grad = gradient(xs, ys, ts, padding);
        auto update = grad * learning_rate;
        kernel -= update;

        epoch++;
    }

    return losses;
};

This is the base code. We can improve it in several ways, for example:

• using the loss of each instance to update the kernel. This is called Stochastic Gradient Descent (SGD), which is very useful in real-world scenarios;
• grouping instances in batches and updating the kernel after each batch, which is called Minibatch;
• 使用学习率时间表来降低各个时期的学习率;
• 在这一行中，我们可以连接一个优化器，如Momentum、RMSProp或Adam。 我们将在接下来的故事中讨论优化器;kernel -= update;
• 引入验证集或使用某些交叉验证架构;
• 通过矢量化替换嵌套循环以获得性能和 CPU 使用率（如上一个故事所述）;for(auto &instance: dataset)
• 添加回调和钩子以更轻松地自定义我们的训练循环。

我们可以暂时忘记这些改进。现在，重点是了解如何使用梯度来更新参数（在我们的例子中是内核）。这是当今机器学习的基本、核心概念，也是推进更高级主题的关键因素。

让我们通过说明性实验将其付诸行动，看看这段代码是如何工作的。

八、实际实验：修复索贝尔边缘探测器

        在上一个故事中，我们了解到我们可以应用 Sobel 滤波器 Gx 来检测垂直边缘：

        现在，问题是：给定原始图像和边缘图像，我们是否设法恢复了 Sobel 滤镜 Gx？

换句话说，我们可以在给定输入 X 和预期输出 Y 的情况下拟合内核吗？

答案是肯定的，我们将使用梯度下降来做到这一点。

九、加载和准备数据

        首先，我们使用OpenCV从文件夹中读取一些图像。我们对它们应用 Gx 过滤器，并将它们成对存储在我们的数据集对象中：

auto load_dataset = [](std::string data_folder, const int padding) {

    Dataset dataset;
    std::vector<std::string> files;
    for (const auto & entry : fs::directory_iterator(data_folder)) {

        Mat image = cv::imread(data_folder + entry.path().c_str(), cv::IMREAD_GRAYSCALE);
        Mat formatted_image = resize_image(image, 640, 640);

        Matrix X;
        cv::cv2eigen(formatted_image, X);
        X /= 255.;

        auto Y = Convolution2D(X, Sobel.Gx, padding);

        auto pair = std::make_pair(X, Y);
        dataset.push_back(pair);
    }

    return dataset;
};

auto dataset = load_dataset("../images/");

我们使用辅助实用程序 .resize_image 格式化每个输入图像以适合 640x640 网格

        如上图所示，将每个图像集中到黑色 640x640 网格中，而无需通过简单地调整图像大小来拉伸图像。resize_image

        我们使用 Gx 过滤器为每个图像生成真实输出 Y。现在，我们可以忘记这个过滤器了。我们将使用梯度下降和 2D 卷积从数据中恢复它。

十、运行实验       

通过连接所有部分，我们最终可以看到训练执行情况：

int main() {
    const int padding = 1;
    auto dataset = load_dataset("../images/", padding);

    const int MAX_EPOCHS = 1000;
    const double learning_rate = 0.1;
    auto history = gradient_descent(kernel, dataset, learning_rate, MAX_EPOCHS);
    
    std::cout << "Original kernel is:\n\n" << std::fixed << std::setprecision(2) << Sobel.Gx << "\n\n";
    std::cout << "Trained kernel is:\n\n" << std::fixed << std::setprecision(2) << kernel << "\n\n";

    plot_performance(history);

    return 0;
}

The following sequence illustrates the fitting process:

一开始，内核充满了随机数。因此，在第一个纪元中，输出图像通常是黑色输出。

然而，在几个纪元之后，梯度下降开始使核拟合到全局最小值。

最后，在最后一个纪元中，输出几乎等于基本事实。此时，损失值渐近移动到最低值。让我们检查一下各时期的损失表现：

训练表现

在机器学习中，这种损失曲线形状非常常见。事实证明，在第一个纪元中，参数基本上是随机值。这会导致初始损失很高：

成本面上的算法搜索表示

在最后一个时期，梯度下降终于完成了它的工作，将核拟合到合适的值，这使得损失收敛到最小值。

现在，我们可以将学习到的内核与原始 Gx Sobel 的过滤器进行比较：

正如我们所料，学习内核和原始内核非常接近。请注意，如果我们在更多的时期训练内核（并使用较小的学习率），这种差异仍然可以更小。

用于训练此内核的代码可以在此存储库中找到。

十一、关于差异化和autodiff

        在这个故事中，我们使用常见的微积分规则来查找MSE偏导数。然而，在某些情况下，为给定的复数成本函数找到代数导数可能具有挑战性。幸运的是，现代机器学习框架提供了一个神奇的功能，称为自动微分或简称。autodiff

   autodiff跟踪每个基本算术运算（如加法或乘法），将链式规则应用于它们以找到偏导数。因此，在使用时，我们不需要计算偏导数的代数公式，甚至不需要直接实现它们。autodiff

        由于这里我们使用的是简单的、众所周知的成本公式，因此不需要手动使用甚至解决复杂的微分。autodiff

更详细地涵盖导数、偏导数和自动微分值得一个新的故事！

十二、结论 

        在这个故事中，我们学习了如何使用梯度来拟合数据中的内核。我们介绍了梯度下降，它简单、强大，是推导出更复杂的算法（如反向传播）的基础。我们还使用梯度下降法进行了一项实际实验，从数据中恢复了Sobel滤波器。

参考书

机器学习，米切尔

Cálculo 3， Geraldo Ávila（巴西葡萄牙语）

神经网络：综合基础，Haykin

模式分类，杜达

计算机视觉：算法和应用，Szeliski。

Python machine learning, Raschka